Question

6．已知，在四棱錐P-ABCD中，等邊△APD所在平面垂直于平行四邊形ABCD所在平面，M、N分別是棱BC與PD的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面PAB；
（2）已知∠ABC=$\frac{π}{3}$，BC=2AB=2，求三棱錐N-MCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD中點(diǎn)E，連接ME，NE，結(jié)合已知條件，由三角形中位線定理可得ME∥AB，NE∥PA，由面面平行的判定定理易判斷出平面MNE∥平面PAB，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PAB；
（2）求出N到平面MCD的距離，利用三棱錐的體積公式，即可求三棱錐N-MCD的體積．

解答 證明：（1）取AD中點(diǎn)E，連接ME，NE，
由已知M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，
∴ME∥AB，NE∥PA
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面PAB，
∴MN∥平面PAB
（2）解：∵等邊△APD所在平面垂直于平行四邊形ABCD所在平面，
∴N到平面MCD的距離h=$\sqrt{3}$
∵BC=2AB=2，∴MC=CD=1，
∵∠ABC=$\frac{π}{3}$，
∴∠MCD=$\frac{2π}{3}$
∴三棱錐N-MCD的體積=$\frac{1}{3}{S}_{△MCD}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查求三棱錐N-MCD的體積．熟練掌握空間線面關(guān)系的判定定理是解答的關(guān)鍵．