Question

已知a₁=9，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，其中n=1，2，3，…，設(shè)b_n=lg（1+a_n）．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)C_n=nb_n+1，求數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和；
（3）設(shè)dn=

1

an

+

1

an+2

，求數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和D_n，并證明Dn+

2

an+1

=

2

9

．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)（a_n，a_n+1）代入函數(shù)f（x）的解析式即可得a_n，a_n+1的關(guān)系式，兩邊取對(duì)數(shù)進(jìn)而可得b_n+1=2b_n，原式得證，
（2）根據(jù)（1）中數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)和公比，可求得b_n，進(jìn)而可求得C_n，通過(guò)錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和，
（3）先根據(jù)a_n+1=a_n²+2a_n可推知

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，進(jìn)而求得d_n與a_n+1和a_n的關(guān)系式，由（1）知：lg（1+a_n）=2^n-1可求得a_n，代入d_n與a_n+1和a_n的關(guān)系式，即可求得d_n，由Dn=2(

1

an

-

1

an+1

)知Dn+

2

an+1

=

2

a1

=

2

9

，進(jìn)而證明Dn+

2

an+1

=

2

9

．

解答：解：（1）證明：由題意知：a_n+1=a_n²+2a_n∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=9，∴a_n+1＞0，
∴l(xiāng)g（a_n+1+1）=lg（a_n+1）²即b_n+1=2b_n，
又∵b₁=lg（1+a₁）=1＞0
∴{b_n}是首項(xiàng)為1比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）知：b_n=b₁•2^n-1=2^n-1∴C_n=n•2ⁿ，設(shè){C_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
∴S_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
∴2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
-Sn=1•21+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2
{C_n}的前n項(xiàng)和為n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．
（3）∵a_n+1=a_n²+2a_n=a_n（a_n+2）＞0∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)
∴

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

∴dn=

1

an

+

1

an

-

2

an+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)
∴Dn=d1+d2+…+d n=2(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)=2(

1

a1

-

1

an+1

)
又由（1）知：lg（1+a_n）=2^n-1∴an+1=102n-1∴an+1=102n-1
∴Dn=2(

1

9

-

1

102 n-1

)又由Dn=2(

1

a1

-

1

an+1

)知Dn+

2

an+1

=

2

a1

=

2

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和．對(duì)于一些特殊數(shù)列的求和可利用錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法等方法來(lái)解決．