Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，，n∈N^×．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先令n=1求出b₁，然后當(dāng)n≥2時(shí)，求出a_n+1的通項(xiàng)代入到b_n中化簡(jiǎn)可得{b_n}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列得證；
（2）由（1）找出b_n的通項(xiàng)公式，當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）代入并利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出即可得到a_n的通項(xiàng)，然后n=1檢驗(yàn)也符合，所以n∈N，a_n都成立．
解答：解：（1）證b₁=a₂-a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，
所以{b_n}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）解由（1）知，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=1+1+（-）+…+
===，
當(dāng)n=1時(shí)，．
所以．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)確定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，會(huì)利用數(shù)列的遞推式的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．以及會(huì)利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值．