Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F分別為PC、PD的中點．
（1）求證：DE⊥平面PBC
（2）在棱BC上確定一點G，使得PA∥面EFG，并寫出證明過程
（3）在（2）成立的條件下，求二面角F-EG-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得DE⊥PC，PD⊥BC，BC⊥CD，從而BC⊥平面PCD，由此能證明DE⊥平面PBC．
（2）棱BC中點G使得PA∥面EFG．以DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PA∥面EFG．
（Ⅲ）由面EGC的法向量為

n

=(0，1，1)，利用向量法能求出二面角F-EG-C的余弦值．

解答： （1）證明：∵底面ABCD為正方形，PD=AB=2，E為PC的中點，∴DE⊥PC．
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
∵ABCD為正方形，∴BC⊥CD，
∵PD∩DC=D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，
∴DE⊥平面PBC．…（4分）
（2）解：棱BC中點G使得PA∥面EFG．
證明如下：以DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，2），
E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1），B（2，2，0），
C（0，2，0），
設(shè)G（x，y，z）設(shè)

CG

=λ

CB

，則(x，y-2，z)=λ(1，0，0)∴G(λ，2，0)．
面EFG的法向量為

m

=(1，0，1)，

PA

=（2，0，-2），
∵

PA

•

m

=0，∴PA∥面EFG．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)面EGC的法向量為

n

=(0，1，1)，
∴cosθ=

1

2

，∵二面角F-EG-C的平面角為鈍角，
∴二面角F-EG-C的余弦值為-

1

2

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查棱BC上確定一點G，使得PA∥面EFG，并寫出證明過程，考查二面角F-EG-C的余弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．