Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAB∥平面EFG；
（2）在線段PB上確定一點(diǎn)Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明；
（3）證明平面EFG⊥平面PAD，并求點(diǎn)D到平面EFG的距離．

Answer 1

分析：（1）由已知可得EG∥PB，從而可證EG∥平面PAB，則只要再證明EF∥平面PAB，即證EF∥AB，結(jié)合已知容易證，根據(jù)平面與平面平行的判定定理可得．
（2）若使得PC⊥平面ADQ，即證明PC⊥平面ADE，當(dāng)Q為PB的中點(diǎn)時(shí)，PC⊥AE，AD⊥PC即可．
（3）欲證平面EFG⊥平面PAD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面EFG內(nèi)一直線與平面PAD垂直，CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，滿足線面垂直的判定定理，則CD⊥平面PAD，再根據(jù)EF∥CD，則EF⊥平面PAD，滿足定理?xiàng)l件，取AD中點(diǎn)H，連接FH，GH，在平面PAD內(nèi)，作DO⊥FH，垂足為O，則DO⊥平面EFGH，DO即為D到平面EFG的距離，在三角形PAD中，求出DO即可．

解答：解：（1）證明：E，G分別是PC，BC的中點(diǎn)得EG∥PB，
∵EG?平面PAB，PB∥平面PAB
∴EG∥平面PAB
又E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD，又AB∥CD
∴EF∥AB
∵EF?平面PAB，AB⊆平面PAB
∴EF∥平面PAB，
又∵EG，EF?平面EFG，EG∩EF=E，
∴平面PAB∥平面EFG．
（2）Q為PB的中點(diǎn)，連QE，DE，又E是PC的中點(diǎn)，
∴QE∥BC，又BC∥AD，∴QE∥AD
∴平面ADQ，即平面ADEQ，
∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形，
∴等腰直角三角形PDC
由E為PC的中點(diǎn)知DE⊥PC．
∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD
∴PD⊥AD，
又AD⊥DC，PD∩CD=D，
∴AD⊥面PDC．
∵PC?面PDC
∴AD⊥PC，且AD∩DE=D．
∴PC⊥平面ADEQ，
即PC⊥平面ADQ
由于EQ∥BC∥AD，
∴ADEQ為平面四邊形，
由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDC，
∵PC?平面PDC，
∴AD⊥PC，
又三角形PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點(diǎn)，
∴DE⊥PC，AD∩DE=D，
∴PC⊥平面ADQ．
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，
∴CD⊥平面PAD，
又EF∥CD，
∴EF⊥平面PAD，
∵EF?平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAD．
取AD中點(diǎn)H，連接FH，GH，
則HG∥CD∥EF，平面EFGH即為平面EFG，
在平面PAD內(nèi)，作DO⊥FH，垂足為O，
則DO⊥平面EFGH，
DO即為D到平面EFG的距離，
在三角形PAD中，H，F(xiàn)為AD，PD中點(diǎn)，
∴DO=FDsin45°=

2

2

．
即D到平面EFG的距離為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．