解法一:
(Ⅰ)證明:因?yàn)镃C
1⊥平面ABC,
所以AC是AC
1在平面ABC內(nèi)的射影,(2分)
由條件可知AB⊥AC,
所以AB⊥AC
1.(4分)
(Ⅱ)證明:設(shè)AC的中點(diǎn)為D,
連接DN,A
1D.

因?yàn)镈,N分別是AC,BC的中點(diǎn),
所以DN平行等于

AB.
又A
1M=

A
1B
1,A
1B
1平行等于AB,
所以A
1M平行等于DN.
所以四邊形A
1DNM是平行四邊形.
所以A
1D∥MN.(7分)
因?yàn)锳
1D?平面ACC
1A
1,MN?平面ACC
1A
1,
所以MN∥平面ACC
1A
1.(9分)
(Ⅲ)如圖,設(shè)AB的中點(diǎn)為H,連接MH,
所以MH∥BB
1.

因?yàn)锽B
1⊥底面ABC,
所以MH⊥底面ABC.
在平面ABC內(nèi),過點(diǎn)H做HG⊥AN,垂足為G.
連接MG,則MG⊥AN.
所以∠MGH是二面角M-AN-B的平面角.(12分)
因?yàn)镸H=BB
1=2,
由△AGH∽△BAC,得HG=

.
所以MG=

=

.
所以cos∠MGH=

=

.
二面角M-AN-B的余弦值是

.(14分)
解法二:
依條件可知AB,AC,AA
1兩兩垂直.
如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo):
A(0,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),A
1(0,0,2),B
1(0,2,2),C
1(-1,0,2),M(0,1,2),

.
證明:(Ⅰ):因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/35409.png' />,

,
所以

=0×(-1)+2×0+0×2=0.(2分)
所以

.
即AB⊥AC
1.(4分)
(Ⅱ)證明:因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536343.png' />,

是平面ACC
1A
1的一個法向量,
且

=

,所以

.(7分)
又MN?平面ACC
1A
1,
所以MN∥平面ACC
1A
1.(9分)
(Ⅲ)設(shè)n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536347.png' />,

,
由

得

解得平面AMN的一個法向量n=(4,2,-1).
由已知,平面ABC的一個法向量為m=(0,0,-1).(12分)
設(shè)二面角M-AN-B的大小為θ,則

=

=

.
二面角M-AN-B的余弦值是

.(14分)
分析:(Ⅰ)要證明:AB⊥AC
1,只要證明AB垂直平面ACC
1A
1內(nèi)的兩條相交直線AC和A
1A,即可證明AB⊥平面ACC
1A
1,從而證明AB⊥AC
1.
(Ⅱ)設(shè)AC的中點(diǎn)為D,連接DN,A
1D,只要證明A
1D∥MN,即可證明MN∥平面ACC
1A
1;
(Ⅲ)法一:作出二面角M-AN-B的平面角,通過解三角形可求二面角M-AN-B的余弦值.
法二:建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的數(shù)量積,求解二面角M-AN-B的余弦值.
點(diǎn)評:本題考查直線與直線的垂直,直線與平面的平行,二面角的知識,考查學(xué)生的空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.