Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為各項(xiàng)均是正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃
求：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式a_n、b_n；
（Ⅱ）數(shù)列{8a_nb²_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件可得：2a₃=b₃，b₃²=a₃，即2b₃²=b₃，由題意可求得b3=

1

2

，公比q=

2

2

，b_n可求；
     由2a3=

1

2

，a1=1，可求得an．
 （Ⅱ）由(Ⅰ)得an=

11

8

-

3

8

n，bn=2

1-n

2

，8a_nb_n²=（11-3n）•2^1-n，這是一個(gè)由等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列，這樣的數(shù)列求和可用錯(cuò)位相見(jiàn)法解決．

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0），得2a₃=a₂+a₄，b₃²=b₂•b₄，
      又a₂+a₄=b₃，b₂•b₄=a₃，
∴2b₃²=b₃
∵b_n＞0∴b3=

1

2

由　b3=1•q2=

1

2

得q=

2

2

（2分）
由2a3=

1

2

，a₁=1得：d=-

3

8

（4分）
∴an=

11

8

-

3

8

n，bn=2

1-n

2

（n∈N₊）　　　（6分）
（Ⅱ）設(shè)cn=8an，dn=bn2顯然數(shù)列{cn}是以8為首項(xiàng)，公差為-3的等差數(shù)列，數(shù)列{dn}是以1為首項(xiàng)，公比為

1

2

的等比數(shù)列，s_n=c₁d₁+c₂d₂+…+c_nd_n①等式兩邊同乘以

1

2

，
得

1

2

Sn=c1d2+c2d3+…+cn-1dn+cndn+1②
由①-②得

1

2

Sn=c1d1-3d2-3d3-…-3dn-cndn+1
=8-3•

1 2 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

-(11-3n)•2-n
=5+

3n-5

2n

因此　 Sn=10+

3n-5

2n-1

（n∈N₊）　　�。�9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相見(jiàn)法求和，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是解方程，求對(duì)兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．