Question

已知函數(shù)（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在（0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，1），求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)極其單調(diào)性，利用單調(diào)性求出極值，再與端點(diǎn)函數(shù)值比較即可求f（x）在（0，1]上的最大值；
（Ⅱ）先求出導(dǎo)函數(shù)，以及單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，與區(qū)間端點(diǎn)進(jìn)行比較即可求出x∈（0，1）時(shí)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）a=1時(shí)，，
則，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（0，1]上的最大值為f（1）=3．
（Ⅱ）（0＜x＜1），判別式△=a²-4．
∵0＜x＜1，a＞0，∴當(dāng)△≤0時(shí)，
即0＜a≤2時(shí)，x²-ax+1＞0，因此，f'（x）＞0，
此時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，即f（x）只有增區(qū)間（0，1）．
當(dāng)△＞0時(shí)，即a＞2時(shí)，方程x²-ax+1=0有兩個(gè)不等根，
設(shè)，，則0＜x₁＜x₂．當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

．
∵a＞2，∴a-2＞0．
而（a-2）²=a²-4a+4，，由a＞2可得a²-4a+4＜a²-4，∴，∴x₁-1＜0，∴x₁＜1.，由a＞2可得x₂-1＞0，∴x₂＞1．
因此，當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
點(diǎn)評(píng)：本題的第一問考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．