Question

19．定義：如果函數(shù)f（x）在[m，n]上存在x₁，x₂（m＜x₁＜x₂＜n）滿足f′（x₁）=$\frac{f（n）-f（m）}{n-m}$，f′（x₂）=$\frac{f（n）-f（m）}{n-m}$，則稱函數(shù)f（x）是[m，n]上的“雙中值函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=x³-x²+a是[0，a]上“雙中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，3）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 令f′（x）=3x²-2x=$\frac{f（a）-f（0）}{a-0}$=a²-a，a²-a=3x²-2x，x∈[0，a]．令g（x）=3x²-2x-a²+a，根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-x²+a是[0，a]上“雙中值函數(shù)”，可得方程3x²-2x-a²+a=0在x∈（0，a）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．必須滿足：g（0）＞0，$g（\frac{1}{3}）$＜0，g（a）＞0．解出即可得出．

解答 解：令f′（x）=3x²-2x=$\frac{f（a）-f（0）}{a-0}$=a²-a，
∴a²-a=3x²-2x，x∈[0，a]．
令g（x）=3x²-2x-a²+a，
∵函數(shù)f（x）=x³-x²+a是[0，a]上“雙中值函數(shù)”，
∴方程3x²-2x-a²+a=0在x∈（0，a）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．
∴g（0）＞0，$g（\frac{1}{3}）$＜0，g（a）＞0．
解得$\frac{1}{2}＜a＜$1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（\frac{1}{2}，1）$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)的性質(zhì)、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．