Question

4．（1）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不小于2；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0（其中f′（x）是f（x）導(dǎo)函數(shù)）．已知g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）n∈N^*．
（1）求g₁（x），g₂（x）；
（2）猜想g_n（x）表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，則a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6，利用基本不等式可得：a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$≥6，得出矛盾，即可證明；
（2）：f′（x）=$\frac{1}{1+x}$，（x≥0）．g（x）=xf′（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₂（x）=g（g₁（x））=$\frac{x}{1+2x}$．猜想：g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 （1）證明：假設(shè)$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，則a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6，
而a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$≥6，矛盾，因此假設(shè)不成立，
故$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不小于2；
（2）解：f′（x）=$\frac{1}{1+x}$，（x≥0）．g（x）=xf′（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₂（x）=g（g₁（x））=$\frac{x}{1+2x}$．
猜想：g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$．
下面：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，g_k（x）=$\frac{x}{1+kx}$．
則n=k+1時(shí)，g_k+1（x）=g（g_k（x））=$g（\frac{x}{1+kx}）$=$\frac{x}{1+k•\frac{x}{1+x}}$=$\frac{x}{1+（k+1）x}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
∴?n∈N^*，g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、基本不等式的性質(zhì)、反證法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．