4.(1)設(shè)a,b,c均為正數(shù),求證:$a+\frac{1},b+\frac{1}{c},c+\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不小于2;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0(其中f′(x)是f(x)導(dǎo)函數(shù)).已知g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)n∈N*
(1)求g1(x),g2(x);
(2)猜想gn(x)表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

分析 (1)假設(shè)$a+\frac{1},b+\frac{1}{c},c+\frac{1}{a}$都小于2,則a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$<6,利用基本不等式可得:a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$≥6,得出矛盾,即可證明;
(2):f′(x)=$\frac{1}{1+x}$,(x≥0).g(x)=xf′(x)=$\frac{x}{1+x}$,g1(x)=g(x)=$\frac{x}{1+x}$,g2(x)=g(g1(x))=$\frac{x}{1+2x}$.猜想:gn(x)=$\frac{x}{1+nx}$.利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出.

解答 (1)證明:假設(shè)$a+\frac{1},b+\frac{1}{c},c+\frac{1}{a}$都小于2,則a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$<6,
而a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$≥6,矛盾,因此假設(shè)不成立,
故$a+\frac{1},b+\frac{1}{c},c+\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不小于2;
(2)解:f′(x)=$\frac{1}{1+x}$,(x≥0).g(x)=xf′(x)=$\frac{x}{1+x}$,g1(x)=g(x)=$\frac{x}{1+x}$,g2(x)=g(g1(x))=$\frac{x}{1+2x}$.
猜想:gn(x)=$\frac{x}{1+nx}$.
下面:利用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),g1(x)=g(x)=$\frac{x}{1+x}$,成立.
②假設(shè)n=k時(shí),gk(x)=$\frac{x}{1+kx}$.
則n=k+1時(shí),gk+1(x)=g(gk(x))=$g(\frac{x}{1+kx})$=$\frac{x}{1+k•\frac{x}{1+x}}$=$\frac{x}{1+(k+1)x}$,
∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立,
∴?n∈N*,gn(x)=$\frac{x}{1+nx}$.

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、基本不等式的性質(zhì)、反證法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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