Question

設(shè)函數(shù)f(x)=-cos2x-4t•sin

x

2

cos

x

2

+2t2-6t+2（x∈R），其中t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）當(dāng)-1≤t≤1時，要使關(guān)于t的方程g（t）=kt有且僅有一個實根，求實數(shù)k的取值范圍

Answer 1

分析：（1）首先對函數(shù)f（x）進行化簡整理，進而看當(dāng)t＜-1，-1≤t≤1和t＞1時時函數(shù)f（x）的最小值，進而確定g（t）的解析式．
（2）根據(jù)（1）可知當(dāng)-1≤t≤1時函數(shù)g（t）的解析式，整理g（t）=kt得t²-（k+6）t+1=0問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[-1，1]有且僅有一個實根，先根據(jù)判別式等于0求得k的值，令q（t）=t²-（k+6）t+1，進而確定函數(shù)與x軸的軸有一個交點落在區(qū)間[-1，1]分別求得k的范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）由已知有：f(x)=-cos2x-4t•sin

x

2

cos

x

2

+t2-6t+2=sin²x-2t•sinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
由于x∈R，∴-1≤sinx≤1，
∴當(dāng)t＜-1時，則當(dāng)sinx=-1時，f（x）_min=2t²-4t+2；
當(dāng)-1≤t≤1時，則當(dāng)sinx=t時，f（x）_min=t²-6t+1；
當(dāng)t＞1時，則當(dāng)sinx=1時，f（x）_min=2t²-8t+2；
綜上，g(t)=

2t2-4t+2，t∈(-∞，-1) t2-6t+1，t∈[-1，1] 2t2-8t+2，t∈(1，+∞)

（2）當(dāng)-1≤t≤1時，g（t）=t²-6t+1，方程g（t）=kt即t²-6t+1=kt，
即方程t²-（k+6）t+1=0在區(qū)間[-1，1]有且僅有一個實根，
令q（t）=t²-（k+6）t+1，則有：
①若△=（k+6）²-4=0，即k=-4或k=-8．
當(dāng)k=-4時，方程有重根t=1；當(dāng)k=-8時，c方程有重根t=-1，∴k=-4或k=-8．
②

k+6 2 ＜-1 q(-1)＜0 q(1)＞0

?

k＜-8 k＜-8 k＜-4

?k＜-8或

k+6 2 ＞1 q(-1)＞0 q(1)＜0

?

k＞-4 k＞-8 k＞-4

?k＞-4，
綜上，當(dāng)k∈（-∞，-8]∪[-4，+∞）時，關(guān)于t的方程g（t）=kt在區(qū)間[-1，1]有且僅有一個實根．

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程得綜合運用．解題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化和化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想．