Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA．
（1）求角A的大�。�
（2）若b=2，c=1，D為BC的中點(diǎn)，求a及AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理與三角恒等變換公式，化簡題中的等式得到2sinBcosA=sinB，從而算出cosA=

1

2

，可得A=

π

3

．
（2）先用余弦定理算出a=

3

，從而得到△ABC是以B為直角的直角三角形，再利用勾股定理即可算出AD的長．

解答：解：（1）∵A+C=π-B，A，B∈（0，π），
∴sin（A+C）=sinB＞0
又∵2bcosA=acosC+ccosA
∴2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB
結(jié)合sinB為正數(shù)，可得cosA=

1

2

．
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（2）由（1）A=

π

3

，根據(jù)余弦定理可得
a²=b²+c²-2bccos

π

3

=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴c=

3

．
因此cosB=

a2+c2-b2

2ac

=0，可得B=

π

2

∴在Rt△ABD中，AD=

AB2+BD2

=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．

點(diǎn)評：本題給出三角形滿足的條件，求角A的大小并依此求三角形中線的長．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等變換、勾股定理等知識，屬于中檔題．