Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（-1，3），（0，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若?x∈[0，3]，3t-t²-3≤f（x）≤12-t²成立，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將函數(shù)解析式假設(shè)成兩點式，即f（x）=ax（x-2），再將（-1，3）代入，可得a=1，從而得到函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）要使?x∈[0，3]，3t-t²-3≤f（x）≤12-t²成立，只需要3t-t²-3≤f（x）_min，且f（x）_max≤12-t²即可．將函數(shù)配方f（x）=x（x-2）=（x-1）²-1，根據(jù)x∈[0，3]，可得f（x）_min與f（x）_max，從而建立不等式可求t的取值范圍
解答：解：（Ⅰ）由題意，設(shè)f（x）=ax（x-2）
將（-1，3）代入，可得a=1
∴f（x）=x（x-2）
（Ⅱ）要使?x∈[0，3]，3t-t²-3≤f（x）≤12-t²成立，只需要3t-t²-3≤f（x）_min，且f（x）_max≤12-t²即可．
∵f（x）=x（x-2）=（x-1）²-1，x∈[0，3]，
∴x=1時，f（x）_min=-1，x=3時，f（x）_max=3
∴3t-t²-3≤-1，且3≤12-t²
∴
∴-3≤t≤1或2≤t≤3．
點評：本題的考點是函數(shù)恒成立問題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查利用最值法求解恒成立問題，解題的根據(jù)是將?x∈[0，3]，3t-t²-3≤f（x）≤12-t²成立，轉(zhuǎn)化為3t-t²-3≤f（x）_min，且f（x）_max≤12-t²．