Question

12．f（x）=ax³-6ax²+b，x∈[-1，2]的最大值為3，最小值為-29，則a+b的值為5或-31．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0求出根，通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的分a＞0或a＜0兩類討論，判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，再求出區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，從它們中選出最值，列出方程求出a，b的值，從而求出a+b即可．

解答 解：f′（x）=3ax²-12ax=3ax（x-4）
令f′（x）=0得x=0或x=4（舍去）
①當(dāng)a＞0時(shí)，x∈[-1，0）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（0，2]時(shí)，f′（x）＜0
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值f（0）=b
∴b=3
∵此時(shí)，f（-1）=b-7a=3-7a，f（2）=b-16a=3-16a
∴f（x）的最小值為3-16a
∴3-16a=-29
解得a=2，
此時(shí)a+b=5，
②當(dāng)a＜0時(shí)，x∈[-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（0，2]時(shí)，f′（x）＞0
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值f（0）=b
∴b=-29
∵此時(shí)，f（-1）=b-7a=-29-7a，f（2）=b-16a=-29-16a
∴f（x）的最大值為-29-16a
∴-29-16a=3
解得a=-2，
此時(shí)：a+n=-31
故答案為：5或-31．

點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)某個(gè)閉區(qū)間上的最值，一般先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出根，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的極值，再求出區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，選出最值．