Question

選做題：（考生可以在以下三個題任選一道題作答，如果多做以考生所作的第一道題為準）
（a） 不等式|x-4|-|x-2|＞1的解集為

(-∞，

5

2

)

．
（b） 已知直線l的極坐標方程為：ρcosθ-ρsinθ-

2

=0，圓C的參數(shù)方程為

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），那么直線l與圓C的位置關系為

相切

．
（c） 如圖已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF=CF=

2

，AF：FB：BE=4：2：1．若CE與圓相切，則CE的長為

7

2

．

Answer 1

分析：（a）先對x進行分類討論，根據(jù)x的范圍先去掉絕對值然后再根據(jù)絕對值不等式的解法進行求解．
（b）先利用sin²θ+cos²θ=1將圓的參數(shù)方程化成圓的普通方程，然后利用利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，將直線的極坐標方程化成普通方程，最后計算圓心到直線的距離與半徑進行比較即可判定位置關系．
（c）設出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．

解答：解：（a）原不等式|x-4|-|x-2|＞1．
當x＜2時，原不等式化為4-x-（2-x）＞1，即2＞1，∴x＜2；
當2≤x≤4時，原不等式化為4-x-（x-2）＞1，∴2≤x＜

5

2

；
當x＞4時，原不等式化為（x-4）-（x-2）＞1，即-2＞1，∴x∈∅．
綜上，原不等式解集為(-∞，

5

2

)．
故答案為：(-∞，

5

2

)．

（b）圓的參數(shù)方程

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），
∴圓的普通方程為x²+y²=1，
直線的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ-

2

=0，
∴直線的普通方程為x-y-

2

=0
而d=

|- 2 |

2

=1=r，
∴直線與圓的位置關系是相切．
故答案為：相切．

（c）設AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k²，即k=

1

2

，
∴AF=2，BF=1，BE=

1

2

，AE=

7

2

，
由切割定理得CE²=BE•EA=

1

2

×

7

2

=

7

4

∴CE=

7

2

．
故答案為：

7

2

．

點評：（a）此小題考查絕對值不等式的解法，運用了分類討論的思想，解題的關鍵是去掉絕對值，此類題目是高考常見的題型．
（b）本小題主要考查圓的參數(shù)方程及直線與圓的位置關系的判斷，以及轉化與化歸的思想方法，屬于基礎題．
（c）本題是基礎題，考查直線與圓的位置關系，考查計算能力，基本知識掌握的情況，�？碱}型．