已知單位向量
a
，
b
的夾角為
π
3
，且
AB
=2
a
+k
b
，
BC
=
a
+
b
，
CD
=
a
-2
b
；
（1）若A，B，D三點共線，求k的值；
（2）是否存在k使得點A、B、D構(gòu)成直角三角形，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由；
（3）若△ABC中角B為鈍角，求k的范圍．
分析：（1）根據(jù)向量共線的充要條件，可得A，B，D三點共線，則
AB
=λ
BD
，構(gòu)造方程可求出k的值；
（2）根據(jù)兩個向量垂直，向量積為0，分別討論△ABD中，角B為直角，角A為直角和角D為直角時，關(guān)于k的方程是否有解，最后綜合討論結(jié)果，可得是否存在k使得點A、B、D構(gòu)成直角三角形．
（3）若△ABC中角B為鈍角，可得
AB
，
BC
夾角為銳角，即
AB
•
BC
＞0，解出k值后，除去讓
AB
，
BC
共線時的k值，可得答案．
解答：解：（1）∵
AB
=2
a
+k
b
，
BC
=
a
+
b
，
CD
=
a
-2
b
；
∴
BD
=
BC
+
CD
=2
a
-
b
；
∵A，B，D三點共線，
∴
AB
=λ
BD

即2
a
+k
b
=λ（2
a
-
b
）
即
2=2λ
k=-λ

解得k=-1
（2）∵單位向量
a
，
b
的夾角為
π
3
，
∴
a
2=1，
b
2=1，
a
•
b
=
1
2

在△ABD中，
若角B為直角，則
AB
•
BD
=（2
a
+k
b
）•（2
a
-
b
）=0，此時方程無解；
若角A為直角，則
AB
•
AD
=
AB
•（
AB
+
BD
）=（2
a
+k
b
）•[4
a
+（k-1）
b
]=0，即k2+2k+7=0此時方程無解；
若角D為直角，則
BD
•
AD
=
BD
•（
AB
+
BD
）=（2
a
-
b
）•[4
a
+（k-1）
b
]=0，此時方程無解；
綜上點A、B、D不能構(gòu)成直角三角形，
（3）若△ABC中角B為鈍角，則
AB
，
BC
夾角為銳角，
∴
AB
•
BC
=（2
a
+k
b
）•（
a
+
b
）=3+
3
2
k＞0，解得k＞-2
又∵k＞2時，
AB
，
BC
同向，夾角為0°
故k的范圍為（-2，2）∪（2，+∞）
點評：本題考查的知識點是向量平行，向量垂直，向量的夾角，熟練掌握向量平等、垂直、夾角公式是解答的關(guān)鍵，其中（3）易忽略兩向量共線時的情況，而錯解為（-2，+∞）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知單位向量
a
，
b
的夾角為
π
3
，那么|
a
-2
b
|=
3
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知單位向量
a
，
b
的夾角為120°，當|2
a
+x
b
|（x∈R）取得最小值時x=
1
1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知單位向量
a
，
b
的夾角為
2π
3
，那么|
a
-
b
|=
3
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知單位向量
a
，
b
的夾角為
π
3
，那么|
a
+2
b
|=（　　）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案