Question

給出以下三個命題，其中所有正確命題的序號為______．
①設(shè)

a

，

b

均為單位向量，若|

a

+

b

|＞1，則θ∈[0，

2π

3

)
②函數(shù)f （x）=xsinx+l，當(dāng)x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且|x₁|＞|x₂|時，有f（x₁）＞f（x₂），
③已知函數(shù)f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，則動點(diǎn)P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為1．

Answer 1

①設(shè)

a

與

b

的夾角為θ，
∵|

a

+

b

|＞1，∴（

a

+

b

）²=

a

²+2

a

•

b

+

b

²＞1…（*）
∵向量

a

，

b

均為單位向量，可得|

a

|=|

b

|=1
∴代入（*）式，得1+2

a

•

b

+1=1＞1，所以

a

•

b

＞-

1

2

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，得|

a

|•|

b

|cosθ＞-

1

2

∴cosθ＞-

1

2

，結(jié)合θ∈[0，π]，得θ∈[0，

2π

3

)．①正確．
②由已知得f（x）是偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，

π

2

]上遞增，
由|x₁|＞|x₂|得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即有f（x₁）＞f（x₂），②正確；
③∵函數(shù)f（x）=|x²-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b²-2=2-a²，
即 a²+b²=4，故動點(diǎn)P（a，b）在圓a²+b²=4上，
動點(diǎn)P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑：d-r=

15

5

-2=1，正確．
故答案為：①②③．