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(2012•梅州一模)已知函數f(x)=lnx-
a(x-1)
x+1

(1)若函數f(x)在(0,+∞)上為單調增函數,求a的取值范圍;
(2)設m,n∈R,且m≠n,求證
m-n
lnm-lnn
m+n
2
分析:(1)根據f(x)的解析式求出f(x)的導函數,通分后根據函數f(x)在(0,+∞)上為單調增函數,得到分子大于0恒成立,解出2a-2小于等于一個函數關系式,利用基本不等式求出這個函數的最小值,列出關于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范圍;
(2)把所證的式子利用對數的運算法則及不等式的基本性質變形,即要證ln
m
n
-
2(
m
n
-1)
m
n
+1
>0,根據(1)得到h(x)在x大于等于1時單調遞增,且
m
n
大于1,利用函數的單調性可得證.
解答:解:(1)f′(x)=
1
x
-
a(x+1)-a(x-1)
(x+1)2
=
(x+1)2-2ax
x(x+1)2
=
x2+(2-2a)x+1
x(x+1)2
,
因為f(x)在(0,+∞)上為單調增函數,所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立
即x2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立,
當x∈(0,+∞)時,由x2+(2-2a)x+1≥0,
得:2a-2≤x+
1
x
,
設g(x)=x+
1
x
,x∈(0,+∞),
則g(x)=x+
1
x
≥2
x•
1
x
=2,當且僅當x=
1
x
即x=1時,g(x)有最小值2,
所以2a-2≤2,解得a≤2,所以a的取值范圍是(-∞,2];
(2)要證
m-n
lnm-lnn
m+n
2
,只需證
m
n
-1
ln
m
n
m
n
+1
2
,
即ln
m
n
2(
m
n
-1)
m
n
+1
,即ln
m
n
-
2(
m
n
-1)
m
n
+1
>0,
設h(x)=lnx-
2(x-1)
x+1
,
由(1)知h(x)在(1,+∞)上是單調增函數,又
m
n
>1,
所以h(
m
n
)>h(1)=0,即ln
m
n
-
2(
m
n
-1)
m
n
+1
>0成立,
得到
m-n
lnm-lnn
m+n
2
點評:此題考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區(qū)間,掌握不等式恒成立時所滿足的條件,會利用基本不等式求函數的最小值,是一道中檔題.在證明第(2)時注意利用第(1)問中的結論.
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