Question

拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點恰是橢圓

X2

4

+

Y2

3

=1的一個焦點，過點F（

p

2

，0）的直線與拋物線C交于點A，B．
（1）求拋物線C的方程；
（2）O是坐標原點，求△AOB的面積的最小值；
（3）O是坐標原點，證明：

OA

•

OB

為定值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)已知條件知拋物線C的焦點（

p

2

，0）是橢圓的右焦點（1，0），這樣便可求得p=2，也就得到了拋物線方程為y²=4x；
（2）過F的直線根據(jù)題意可分成兩種情況：存在斜率k，（k≠0），和不存在斜率．存在斜率k時，方程為y=kx-k，聯(lián)立拋物線方程可得y2-

4

k

•y-4=0，根據(jù)韋達定理可求y1+y2=

4

k

，y1y2=-4，而△AOB的面積可表示成S=

1

2

(y1-y2)=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=2

1 k2 +1

＞2；而不存在斜率時容易求得S=2，所以△AOB的面積的最小值為2；
（3）由（2）即可求出

OA

•

OB

=-3，所以說

OA

•

OB

為定值．

解答： 解：（1）由已知條件知（

p

2

，0）=（1，0）；
∴p=2；
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）F（1，0），∴F是拋物線C的焦點，如圖，設A(

y12

4

，y1)，B(

y22

4

，y2)；
①若過F的直線存在斜率，設為k，該直線方程為y=kx-k；
根據(jù)題意知k≠0，∴x=

y

k

+1，帶入拋物線方程y²=4x并整理得：
y2-

4

k

•y-4=0；
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=-4；
∴△AOB的面積S=

1

2

•1•y1+

1

2

•1•(-y2)=

1

2

(y1-y2)=

1

2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=2

1 k2 +1

＞2；
∴即S＞2；
②當過F的直線不存在斜率，即垂直于x軸時，直線方程為x=1；
∴可求得A（1，2），B（1，-2），|AB|=4；
∴△AOB的面積S=2；
綜上得△AOB的面積的最小值為2；
（3）由（2）知

OA

•

OB

=(

y12

4

，y1)•(

y22

4

，y2)=

y12•y22

16

+y1y2=1-4=-3；
∴

OA

•

OB

為定值．

點評：考查拋物線、橢圓的標準方程，以及焦點，以及直線的點斜式方程，韋達定理，求三角形面積的方法，向量數(shù)量積的運算．