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5.已知f(x)=x2+alog2(x2+2)+a2-2有唯一零點,則實數(shù)a的值為1.

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)得到方程f(x)=0的根為0,解方程即可得到結論.

解答 解:∵f(x)=x2+alog2(x2+2)+a2-2,則函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
方程x2+alog2(x2+2)+a2-2=0有唯一解,等價為f(x)=0有唯一的解x=0,
則alog22+a2-2=a+a2-2=0,得a=-2 或a=1.
當a=-2時,f(x)=x2 -2log2(x2+2)+2,由于f(2)=0,此時,函數(shù)f(x)不止一個零點,
不滿足條件,故舍去.
當a=1 時,f(x)=x2+log2(x2+2)-1,在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(0)=0,滿足條件,
故答案為:1.

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用,根據(jù)條件構造函數(shù),利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)得到方程的根是解決本題的關鍵,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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同步練習冊答案
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