Question

已知f（x）=x²﹣alnx在（1，2]上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）設(shè)函數(shù)在（0，1]上是增函數(shù)，且對于（0，1]內(nèi)的任意兩個(gè)變量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)，求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

Answer 1

解：（1），依題意，當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f'（x）≥0恒成立，
即a≤（2x²）_mina≤2.
，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，
所以a=2．
（2），
所以f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，最小值是f（1）=1.
在（0，1]上是增函數(shù)，即恒成立，
得b≥﹣1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b﹣1，
由已知得1≥2b﹣1b≤1，
所以b的取值范圍是[﹣1，1]．
（3），n=1時(shí)不等式左右相等，得證；
n≥2時(shí)，
=，
所以，[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）成立．