Question

（本題滿分12分）
已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn).
(Ⅰ) 求橢圓G的方程；
(Ⅱ) 設(shè)、是橢圓G的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，請問的內(nèi)切圓M的面積是否存在最大值？若存在,求出這個最大值及直線的方程，若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
設(shè)橢圓的長軸長為，則，即，又，所以
∴橢圓G的方程
(Ⅱ)如圖,設(shè)內(nèi)切圓M的半徑為,與直線的切點(diǎn)為C，

則三角形的面積等于的面積+的面積+的面積.
即.
當(dāng)最大時,也最大,內(nèi)切圓的面積也最大, 
設(shè)、(),則,
由,得,
解得,,
∴,令,則,且,
有,令,則,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,有,,
即當(dāng),時,有最大值,得,這時所求內(nèi)切圓的面積為,
∴存在直線,的內(nèi)切圓M的面積最大值為.

略