Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e為自然對數(shù)的底）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴（1）當(dāng)2-a≤0即a≥2時f'（x）＜0恒成立．
（2）當(dāng)2-a＞0即a＜2時，由f'（x）＜0，得；
由f'（x）＞0，得．
因此：當(dāng)a≥2時函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是
（II）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，
又因為g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）在（0，e]上的值域為（0，1]．
由（Ⅰ）知當(dāng)a≥2時函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，不合題意，
∴a＜2，并且，即①
∵x→0時f（x）→+∞，故對任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個不同x_i（i=1，2），
使得f（x_i）=g（x₀）成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿足，
注意到f（1）=0，故只要f（e）=（2-a）（e-1）-2≥1，即②
由①②知，所求的a得取值范圍是
分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（II）根據(jù)）若對任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上不單調(diào)，并且有，從而求得a的取值范圍．
點評：此題是個難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，和求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合以及題意的理解與轉(zhuǎn)化的思想．特別是問題（2）的設(shè)置，考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問題的能力．