Question

（2012•焦作模擬）已知函數(shù)f（x）=mx²+lnx-2x．
（1）若m=-4，求函數(shù)f（x）的最大值．
（2）若f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值；
（2）令導(dǎo)數(shù)大于等于0，再利用分離參數(shù)法，確定相應(yīng)函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′(x)=2mx+

1

x

-2．…（1分）
（1）當(dāng)m=-4時(shí)，f′(x)=-8x+

1

x

-2，
令f'（x）=0，得x=

1

4

或-

1

2

（舍去）．…（3分）
列表：

x	(0， 1 4 )	1 4	( 1 4 ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	最大值：-2ln2- 3 4	↘

故函數(shù)f（x）的最大值為-2ln2-

3

4

．…（6分）
（2）令f'（x）≥0，即2mx+

1

x

-2≥0，

2mx2-2x+1

x

≥0．
∵x＞0，∴2mx²-2x+1≥0．
∵f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，∴2mx²-2x+1≥0在x∈（0，+∞）恒成立．…（7分）
即m≥(

1

x

-

1

2x2

)max．…（9分）
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，

1

x

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

)2+

1

x

，
當(dāng)

1

x

=1時(shí)，取得(

1

x

-

1

2x2

)max=

1

2

．
故m≥

1

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再利用分離參數(shù)法求解．