Question

已知數(shù)列有a₁=a，a₂=p（常數(shù)p＞0），對任意的正整數(shù)n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n滿足．
（Ⅰ）求a的值并證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（Ⅱ）令，是否存在正整數(shù)M，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）n=1代入數(shù)列遞推式，可得a的值；由a₁=0得，則，兩式相減，并整理，可得（n-1）a_n+1=na_n，再寫一式na_n+2=（n+1）a_n+1，兩式相減，可得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，從而可得結(jié)論；
（Ⅱ）先表示出P_n，再利用裂項法求和，即可求得最小的正整數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）由已知，得，∴a=0…．（2分）
由a₁=0得，則，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n）
則有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}為等差數(shù)列；…．（7分）
（Ⅱ）∵，∴
∴=；由n是整數(shù)可得P₁+P₂+P₃+…+P_n-2n＜3，
故存在最小的正整數(shù)M=3，使不等式P₁+P₂+P₃+…+P_n-2n≤M恒成立…．（12分）
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項法求數(shù)列的和，正確運用數(shù)列遞推式是關(guān)鍵．