Question

14．對(duì)于曲線C所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角θ，使得θ≥∠AOB對(duì)于曲線C上的任意兩個(gè)不同點(diǎn)A、B恒成立，則稱θ為曲線C相對(duì)于O的“界角”，并稱最小的“界角”為曲線C相對(duì)于O的“確界角”，已知曲線M：y=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1+9{x}^{2}}，x≤0}\\{1+x{e}^{x-1}，x＞0}\end{array}\right.$，（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線M相對(duì)于O的“確界角”為（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點(diǎn)O作出兩條直線與曲線無限接近，當(dāng)x≤0時(shí)，曲線y=$\sqrt{1+9{x}^{2}}$與直線y=k₁x無限接近，考慮漸近線，求出k₁=-3；當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，列出方程，求出切點(diǎn)（1，2），即得k₂=2，再由兩直線的夾角公式即可得到所求的“確界角”．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點(diǎn)O作出兩條直線與曲線無限接近，
設(shè)它們的方程分別為y=k₁x，y=k₂x，
當(dāng)x≤0時(shí)，曲線y=$\sqrt{1+9{x}^{2}}$即為y²-9x²=1與直線y=k₁x無限接近，
即為雙曲線的漸近線，故k₁=-3；
當(dāng)x＞0時(shí)，y′=e^x-1+xe^x-1，設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則n=k₂m，
n=me^m-1+1，k₂=e^m-1+me^m-1，即有m²e^m-1=1，
由x²e^x-1（x＞0）為增函數(shù)，且x=1成立，
故m=1，k₂=2，
由兩直線的夾角公式得，tanθ=|$\frac{2-（-3）}{1+2×（-3）}$|=1，
故曲線C相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”為$\frac{π}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義“確界角”的理解和應(yīng)用，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線方程，以及雙曲線的性質(zhì)：漸近線方程，屬于中檔題．