Question

 如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形中，點(diǎn)在線段上，且，，作，分別交，于點(diǎn)，，作，分別交，于點(diǎn)，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求四棱錐的體積；

（Ⅲ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

   （I）證明：在正方形ADD₁A中，因?yàn)?i>CD=AD－BC=5，

    所以三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面三角形ABC的邊AC=5.

    因?yàn)?i>AB=3，BC=4，

    所以AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC

    因?yàn)樗倪呅?i>ADD₁A₁為正方形，AA₁∥BB₁

    所以AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，

    所以AB⊥平面BBC₁B₁.

   （II）解：在因?yàn)?i>AB⊥平面BBC₁B₁，

    所以AB 為四棱錐A—BCQP的高.

    因?yàn)樗倪叢?i>BCQP為直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，

    所以梯形BCQP的面積為，

    所以四棱錐A—BCQP的體積

   （III）解：由（I）、（II）可知，AB，BC，BB₁兩兩互相垂直.以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B—xyz，

    則A（0，0，3），B（0，0，0），

    C（4，0，0），P（0，3，0），

    Q（4，7，0），

    所以

    設(shè)平面PQA的一個(gè)法向量為    n₁=（x，y，z）.

   

   

    顯然平觀BCA的一個(gè)法向量為

    設(shè)平面PQA與平面BCA所成銳二面角為θ.

    則

    所以平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值為