Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C與y軸相切于點(diǎn)M（0，2），且圓心C在直線l：y=2x-4上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）已知過點(diǎn)N（4，5）的直線m與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4$\sqrt{2}$，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出圓的方程，利用圓心在直線l上求得a和r，則圓的方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)弦長和半徑可求得圓心到直線m的距離，先看直線斜率不存在時(shí)也符合，進(jìn)而看斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，利用圓心直線的距離求得k，則直線的方程可得．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²，r＞0，
因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)M（0，2），所以b=2，|a|=r．
因?yàn)閳A心C在直線 l：y=2x-4上，所以a=3，r=3．
所以圓C的方程為：：（x-3）²+（y-3）²=9，
（Ⅱ）因?yàn)橄议L為4$\sqrt{2}$，所以圓心到直線m的距離為1
直線m的斜率不存在時(shí)，x=4符合；
當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y-5=k（x-4），即kx-y+5-4k=0，
則d=$\frac{|3k-2+5-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$，即直線方程為4x-3y-1=0
所以x=4或4x-3y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線圓的方程的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離來解決問題．