Question

已知函數有三個極值點．
（1）求c的取值范圍；
（2）若存在c=5，使函數f（x）在區(qū)間[a，a+2]上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數有三個極值點，
∴f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三個不等的實根，
設g（x）=x³+3x²-9x+c，則g'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）…（3分）
列表如下：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	_	0	+
g（x）	增	極大值27+c	減	極小值c-5	增

∴解得-27＜c＜5…（8分）
（2）當c=5時，由f'（x）=x³+3x²-9x+5=0，即f'（x）=（x-1）²（x+5）=0可知f（x）在（-∞，-5]上單調遞減，
所以a+2≤-5，即a≤-7…（12分）
分析：（1）函數有三個極值點，轉化為導函數有三個不等的實根，求出導函數的極值，建立不等式，即可確定c的取值范圍；
（2）當c=5時，可知f（x）在（-∞，-5]上單調遞減，從而可求a的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，將函數有三個極值點，轉化為導函數有三個不等的實根是解題的關鍵．