Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n和通項(xiàng)a_n之間滿足關(guān)系Sn=

3

2

(an-1)，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

求證：T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由題意知an=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)=

3

2

an-

3

2

an-1，所以a_n=3a_n-1．由S1=a1=

3

2

(a1-1)得a₁=3．所以a_n=3×3^n-1=3ⁿ．
（2）由題意知

1

bn

=

2

n(1+n)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)．由此可知T_n＜2．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)=

3

2

an-

3

2

an-1，
∴a_n=3a_n-1．（3分）
又由S1=a1=

3

2

(a1-1)得a₁=3．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=3、公比為3的等比數(shù)列．∴a_n=3×3^n-1=3ⁿ（7分）
（2）∵f（x）=log₃x，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂++log₃a_n=log₃（a₁a₂a_n）
∴bn=log33^1+2++n．（10分）
∴

1

bn

=

2

n(1+n)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

++

1

bn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)．
∴T_n＜2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力的培養(yǎng)．