正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱BC，AD的中點，則直線DE與平面BCF所成角的正弦值為
3
3
3
3
．
分析：利用正四面體的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、余弦定理、線面角的定義即可得出．
解答：解：如圖所示，連接EF．
不妨設(shè)BC=2，由正四面體可知：每個面都為正三角形，
∴DE⊥BC，DE=
3
=BF=CF，∴FE⊥BC，∴FE=
2
，BC⊥平面DEF，因此∠DEF為直線DE與平面BCF所成角．
在△DEF中，由余弦定理可得：cos∠DEF=
(
2
)2+(
3
)2-12
2×
2
×
3
=
6
3
，∴sin∠DEF=
3
3
．
∴直線DE與平面BCF所成角的正弦值為
3
3
．
故答案為
3
3
．
點評：熟練掌握正四面體的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、余弦定理、線面角的定義是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在的棱長為1的正四面體ABCD中，E是BC的中點，則
AE
•
CD
=（　　）
A、0
B、
1
2
C、-
1
2
D、-
1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在棱長為1的正四面體ABCD中，E是BC的中點，則
AE
•
CD
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

4、求證：正四面體ABCD中相對的兩棱（即異面的兩棱）互相垂直．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)使用類比推理得到如下結(jié)論：
（1）同一平面內(nèi)，三條不同的直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b，類比出：空間中，三條不同的直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b；
（2）a，b∈R，a-b＞0則a＞b，類比出：a，b∈C，a-b＞0則a＞b；
（3）以點（0，0）為圓心，r為半徑的圓的方程是x2+y2=r2，類比出：以點（0，0，0）為球心，r為半徑的球的方程是x2+y2+z2=r2；
（4）正三角形ABC中，M是BC的中點，O是△ABC外接圓的圓心，則
AO
OM
=2，類比出：在正四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點，O為四面體ABCD外接球的球心，則
AO
OM
=3．
其中類比的結(jié)論正確的個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正四面體ABCD中，E、F分別為棱AD、BC的中點，連接AF、CE，則異面直線AF和CE所成角的正弦值為（　�。�
A、
1
3
B、
2
3
C、
2
4
D、
5
3

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