Question

設函數，且αsinα-βsinβ＞0，則下列不等式必定成立的是

1. A.
   α＞β
2. B.
   α＜β
3. C.
   α+β＞0
4. D.
   α²＞β²

Answer 1

D
分析：構造函數f（x）=xsinx，x∈，利用奇偶函數的定義可判斷其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判斷f（x）=xsinx，x∈[0，]與x∈[-，0]上的單調性，從而可選出正確答案．
解答：令f（x）=xsinx，x∈，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈為偶函數．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴當x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]單調遞增；
同理可證偶函數f（x）=xsinx在x∈[-，0]單調遞減；
∴當0≤|β|＜|α|≤時，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立；
故選D．
點評：本題考查正弦函數的單調性，難點在于構造函數f（x）=xsinx，x∈，通過研究函數f（x）=xsinx，的奇偶性與單調性解決問題，屬于難題．