如圖,棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn),O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的身影。
(Ⅰ)求直線EF與直線BC所成角的大小;
(Ⅱ)求點(diǎn)O到平面ACD的距離;
(Ⅲ)求二面角C―BF―E的大小。
方法一:(Ⅰ)因?yàn)镋、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn),
所以EF∥AC所以∠BCA是EF與BC所成角。
因?yàn)檎拿骟wABC為正三角形,所以∠BCA = 60°
即EF與BC所成角的大小是60°
(Ⅱ)解法1:
如圖,連結(jié)AO,AF,因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),
且△ACD,△BCD均為正三角形,所以BF⊥CD,AF⊥CD
因?yàn)锽F∩AF = F, 所以CD⊥面AFB。
因?yàn)镃D面ACD 所以面AFB⊥面ACD。
因?yàn)锳BCD是正四面體,且O是點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影,
所以點(diǎn)O必在正三角形BCD的中線BF上。
在面ABF中,過(guò)O作OG⊥AF,垂足為G,所以O(shè)G⊥面ACD。
即OG的長(zhǎng)為點(diǎn)O到面ACD的距離。
因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)為1,
在△ABF中,容易求出AF= BF =,OF =
,AO =
,
因?yàn)椤鰽OF∽△OGF,故由相似比易求出OG =。
所以點(diǎn)O到平面ACD的距離是
解法2 :
如圖,連結(jié)AO,CO,DO,
所以點(diǎn)O到平面ACD的距離就是三棱錐O―ACD底面ACD上的高h,
與解法1同理容易求出OF=,AO=
所以VACOD =?
(
?
?1)=
。
因?yàn)閂OCOD = VACOD
所以= VOACD =
? h ? (
?
?1) 解得h =
(Ⅲ)(文科)
連結(jié)OD,設(shè)OD的中點(diǎn)為K,連結(jié)EK,則EK∥AO。
因?yàn)锳O⊥面BCD。所以EK⊥BCD。
在面BCD內(nèi),過(guò)點(diǎn)K作KN∥CD,KN交BF于M,交AB于N,
因?yàn)锽E⊥CD,所以KN⊥BF,
連結(jié)EM,所以EM⊥BF。所以∠NME是所求二面角的平面角。
因?yàn)镋K=AO =
?
=
,MK =
FD =
CD =
,
所以tan∠EMK =。
所以tan∠NME = tan (∠EMK ) =
。
所以所求二面角的大小為 arctan
方法二:
如圖,以點(diǎn)A在面BCD的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn),有向直線OA為z軸,有向直線BF為y軸,x軸為過(guò)點(diǎn)O與DC平行的有向直線。
因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)為1,所以可以求出各點(diǎn)的坐標(biāo)依次為:
O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 0 , 0 , ) , B ( 0 ,
, 0 )
C (,
, 0 ) , D (
,
, 0 )
E ( ,
,
) , F ( 0 ,
, 0)
(Ⅰ)因?yàn)?sub>= (
,
),
= (
,
,0 )
又?
=
×
+
×
×0 =
,且|
| =
=
|
| = 1
所以cos
所以EF與BC所成角的大小是60°
(Ⅱ)因?yàn)?sub>= (
,
,
) ,
= (
,
,
),
設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為= ( x1 , y1 , z1 )
由?
= 0,
?
= 0,解得
= ( 0 , 2 ,
).
因?yàn)?sub>,
?
=
,|
| =
,
所以點(diǎn)O到平面ACD的距離等于d =
(Ⅲ)因?yàn)?sub>= (
,
) ,
(0,
,0),
設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為FBEF = ( x2 , y2 , z2 )
由可得BEF的一個(gè)法向量FBEF =
。
容易得到平面BCF的一個(gè)法向量FBCF =(0,0,1)
因?yàn)?i>FBEF?FBCF = 3 , |FBEF| =, |FBCF| = 1
所以cos=
.
所以二面角C―BF―E的大小為arccos=
arccos
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題滿分10分)
如圖,在底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱
上的一點(diǎn),
. (1)試確定m,使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º;(2)在線段
上是否存在一個(gè)定點(diǎn)
,使得對(duì)任意的m,
⊥AP,并證明你的結(jié)論.
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