Question

已知（2x^lgx+lg2+1）ⁿ展開式中最后三項(xiàng)的系數(shù)的和是方程lg（y²-72y-72）=0的正數(shù)解，它的中間項(xiàng)是104+2lg

2

，求x的值．

Answer 1

分析：先解方程lg（y²-72y-72）=0，（2x^lgx+lg2+1）ⁿ展開式中最后三項(xiàng)的系數(shù)分別為C_n^n-2•4，C_n^n-1•2，C_nⁿ，由題意得到關(guān)于n的方程，求出n．再利用通項(xiàng)公式寫出中間項(xiàng)，解方程即可．

解答：解：由lg（y²-72y-72）=0得y²-72y-73=0，∴y=-1（舍去）或y=73，
由題意知，C_n^n-2•4+C_n^n-1•2+C_nⁿ=73，∴n=6
已知條件知，其展開式的中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，
即

C

3 6

•23•x3(lgx+lg2)=160•x3(lgx+lg2)=104+2lg

2

=2000，
∴l(xiāng)g²x+lg2•lgx+lg2-1=0，∴l(xiāng)gx=-1或lgx=1-lg2=lg5，
∴x=

1

10

或x=5．經(jīng)檢驗(yàn)知，它們都符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用、及對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)方程問題，綜合性較強(qiáng)．