Question

9．已知函數(shù)f（x）為對數(shù)函數(shù)，并且它的圖象經過點（2$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$），g（x）=[f（x）]²-2bf（x）+3，其中b∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[$\sqrt{2}$，16]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=log_ax（a＞0且a≠1，代值計算即可求出函數(shù)的解析式，
（2）設t=f（x）=log₂x則y=g（t）=（t-b）²+3-b²，對稱軸為t=b，再利用對稱軸與區(qū)間的位置關系，進行分類討論，從而可求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[$\sqrt{2}$，16]上的最小值

解答 解：（1）設f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
∵f（x）的圖象經過點$（2\sqrt{2}，\frac{3}{2}）$，∴$f（2\sqrt{2}）=\frac{3}{2}$，即${log_a}2\sqrt{2}=\frac{3}{2}$
∴${a^{\frac{3}{2}}}=2\sqrt{2}={2^{\frac{3}{2}}}$，即a=2
∴f（x）=log₂x（x＞0）．
（2）設t=f（x）=log₂x，∵$\sqrt{2}≤x≤16$，∴${log_2}\sqrt{2}≤x≤{log_2}16$
∴$\frac{1}{2}≤f（x）≤4$，即$\frac{1}{2}≤t≤4$
則y=g（t）=t²-2bt+3=（t-b）²+3-b²，$（\frac{1}{2}≤t≤4）$，對稱軸為t=b
①當$b＜\frac{1}{2}$時，y=g（t）在$[\frac{1}{2}，4]$上是增函數(shù)，${y_{min}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{13}{4}-b$
②當$\frac{1}{2}≤b≤4$時，y=g（t）在$[\frac{1}{2}，b]$上是減函數(shù)，在（b，4]上是增函數(shù)，${y_{min}}=g（b）=3-{b^2}$
③當b＞4時，y=g（t）在$[\frac{1}{2}，4]$上是減函數(shù)，y_min=g（4）=19-8b
綜上所述，${y_{min}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{13}{4}-b，b＜\frac{1}{2}\\ 3-{b^2}，\frac{1}{2}≤b≤4\\ 19-8b，b＞4\end{array}\right.$．

點評 本題重點考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，解題的關鍵是正確配方，確定函數(shù)的對稱軸，利用對稱軸與區(qū)間的位置關系，進行分類討論．