Question

（本小題滿分12分）定義在上的函數滿足下面三個條件：

①對任意正數，都有；

②當時，；

③．

（1）求和的值；

（2）試用單調性定義證明：函數在上是減函數；

（3）求滿足的的取值集合.

 

Answer 1

（1），；（2）略；（3）．

【解析】

試題分析：（1）因為對任意正數，都有，所以令得，令得，令，得，對正數恰當賦值是解此類題目的關鍵；（2）任取，，且，則，，，所以函數在上是減函數，變形是證明此題的關鍵；（3）利用（1）中，（2）中函數在上是減函數，將等價變形為，解得，這里逆用單調性定義，將函數值之間的關系轉化為符合條件的自變量間的關系是解此類問題最基本的方法．

試題解析：（1）∵對任意正數，都有，∴令得，

∴， 2分

∵，∴，． 4分（2）任取，，且， 5分

則，∵當時，，∴； 6分

∴ 7分

∴函數在上是減函數． 8分

（3）∵，∴，解得， 9分

∴，即，亦即， 10分

∴，解得， 11分

∴的解集為． 12分

考點：①用賦值法求抽象函數的函數值；②抽象函數的單調性的證明；③利用抽象函數的單調性解不等式．