Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162 m²的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/m²，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m²，池底建造單價(jià)為80元/m²，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)．

(1) 試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；

(2) 若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16 m，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．

Answer 1

解：(1) 設(shè)污水處理池的寬為x m，則長為 m.

總造價(jià)為f(x)＝400×＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296＋1 2960≥1 296×2＋12 960＝38 880元．當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x>0)，即x＝10時(shí)取等號．∴ 當(dāng)長為16.2 m，寬為10 m時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38 880元．

(2) 由限制條件知∴ 10≤x≤16.設(shè)g(x)＋x＋，由函數(shù)性質(zhì)易知g(x)在上是增函數(shù)，∴ 當(dāng)x＝10時(shí)(此時(shí)＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×＋12 960＝38 882(元)．∴ 當(dāng)長為16 m，寬為10 m時(shí)，總造價(jià)最低，為38 882元．