Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=C_n²+C_n³x+C_n⁴x²+…+C_nⁿx^n-2（n∈N，n≥2），當(dāng)x＞-1，且x≠0時(shí)，證明：f_n（x）＞0恒成立．

Answer 1

證明：要證f_n（x）＞0恒成立，∵x＞-1，且x≠0，∴只需證c_n⁰+c_n¹•x+c_n²•x²+…+c_nⁿxⁿ＞1+nx，即證C_n²+C_n³x+C_n⁴x²+…+C_nⁿx^n-2（（1+x）ⁿ＞1+nx
①當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立．
②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即 （1+x）^k ＞1+kx
則當(dāng)n=k+1時(shí)有，（1+x）^k+1=（1+x）^k •（1+x）＞=（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x
也成立．
所以對(duì)任意nn∈N，n≥2，（1+x）ⁿ＞1+nx成立，即f_n（x）＞0恒成立．
分析：要證f_n（x）＞0恒成立，因?yàn)閤＞-1，且x≠0，所以只需證（1+x）ⁿ＞1+nx，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是將所要證明的不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，應(yīng)注意數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．