已知函數(shù)f（x）=log2（x+1），當(dāng)點(diǎn)（x，y）是y=f（x）的圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)(
x
3
，
y
2
)是y=g（x）的圖象上的點(diǎn)．
（I）寫(xiě)出y=g（x）的表達(dá)式；
（II）當(dāng)g（x）-f（x）≥0時(shí)，求x的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x在（Ⅱ）所給范圍取值時(shí)，求g（x）-f（x）的最大值．
分析：（I）令
x
3
=m，
y
2
=n，由題設(shè)條件知n=
1
2
log2(3m+1)，再由（m，n）是函數(shù)y=g（x）的圖象上的點(diǎn)，可知g(x)=
1
2
log2(3x+1)(x＞-
1
3
)．
（II）由題意知
1
2
log2(3x+1)≥log2(x+1)．由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得
3x+1＞0
x+1＞0
3x+1≥(x+1)2
，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）由題意知g(x)-f(x)=
1
2
log2
3x+1
(x+1)2
=
1
2
log2
9
(3x+1)+
4
3x+1
+4
≤
1
2
log2
9
8
．由此可知g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值為
1
2
log2
9
8
．
解答：解：（I）令
x
3
=m，
y
2
=n，則x=3m，y=2n，由點(diǎn)（x，y）在y=log2（x+1）的圖象上可得2n=log2（3m+1），故n=
1
2
log2(3m+1)，
又（m，n）是函數(shù)y=g（x）的圖象上的點(diǎn)，故g(x)=
1
2
log2(3x+1)(x＞-
1
3
)．
（II）因?yàn)間（x）-f（x）≥0，所以
1
2
log2(3x+1)≥log2(x+1)．
由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得
3x+1＞0
x+1＞0
3x+1≥(x+1)2
，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）因?yàn)?≤x≤1，
所以g(x)-f(x)=
1
2
log2
3x+1
(x+1)2
=
1
2
log2
9
(3x+1)+
4
3x+1
+4
≤
1
2
log2
9
8
．
當(dāng)且僅當(dāng)3x+1=2時(shí)，即x=
1
3
時(shí)等號(hào)成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值為
1
2
log2
9
8
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱(chēng)直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱(chēng)直線AB存在“中值伴侶切線”．試問(wèn)：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過(guò)點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱(chēng)軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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