Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓

4x2

49

+

y2

6

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF₁|：|PF₂|=4：3，則△PF₁F₂的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓方程，得a=

7

2

，b=

6

，c=2.5．得橢圓的焦點(diǎn)為F₁（-2.5，0），F(xiàn)₂（2.5，0），由橢圓的定義結(jié)合|PF₁|：|PF₂|=4：3，得|PF₁|=4，|PF₂|=3，結(jié)合勾股定理的逆定理得△PF₁F₂是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，由此不難得到△PF₁F₂的面積．

解答： 解：∵橢圓的方程為

4x2

49

+

y2

6

=1，
∴a=

7

2

，b=

6

，c=2.5．
得橢圓的焦點(diǎn)為F₁（-2.5，0），F(xiàn)₂（2.5，0），
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=7，且|PF₁|：|PF₂|=4：3，
∴|PF₁|=4，|PF₂|=3，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=25=|F₁F₂|²，
因此，△PF₁F₂是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
得△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=6
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的兩條焦半徑的比值，求焦點(diǎn)三角形的面積，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．