Question

若對(duì)函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的每一個(gè)值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱此函數(shù)為“黃金函數(shù)”，給出下列三個(gè)命題：
①y=x^-2是“黃金函數(shù)”；
②y=lnx是“黃金函數(shù)”；
③y=2^x是“黃金函數(shù)”，
其中正確命題的序號(hào)是________．

Answer 1

③
分析：由題意知若使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，①不是單調(diào)函數(shù)，不合題意．因?yàn)閷?duì)于函數(shù)f（x）=lnx當(dāng)x₁=1時(shí)，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立．得到結(jié)果．
解答：由題設(shè)知，對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₁，存在定義域內(nèi)的唯一一個(gè)自變量x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，否則可能存在定義域內(nèi)的不止一個(gè)自變量x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立．
∵①不是單調(diào)函數(shù)，不合題意．
②因?yàn)閷?duì)于函數(shù)f（x）=lnx，當(dāng)x₁=1時(shí)，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立，
對(duì)于③f（x）=2^x，滿足對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₁，都存在定義域內(nèi)的唯一一個(gè)自變量x₂=-x₁使得f（x₁）f（x₂）=1成立，故③滿足題意；
∴由此可知，滿足條件的函數(shù)有③．
故答案為：③．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的特殊點(diǎn)的值，本題解題的關(guān)鍵是看出函數(shù)的單調(diào)性，并且注意函數(shù)自變量特殊值的性質(zhì)，本題是一個(gè)中檔題目．