Question

15．如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O₁的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直徑，AB=AC=6，OE∥AD．
（1）證明：EF∥面BCD；
（2）證明：面ACD⊥面CEF；
（3）求三棱錐O₁-OBF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證明DEFO是平行四邊形，可得EF∥DO，利用線面平行的判定定理證明：EF∥面BCD；
（2）證明：CF⊥面ACD，利用平面與平面垂直的判定定理證明面ACD⊥面CEF；
（3）利用三棱錐的體積公式，即可求三棱錐O₁-OBF的體積．

解答 （1）證明：連接OD，則
由題意，OE⊥AF，AOED是平行四邊形，∴DE∥AO，DE=AO，
∵AO=OF，
∴DE∥OF，DE=OF，
∴DEFO是平行四邊形，∴EF∥DO
∵EF?面BCD，DO?面BCD，
∴EF∥面BCD；
（2）證明：∵AF是圓O的直徑，∴AC⊥CF
∵AD與兩圓所在的平面均垂直，CF?圓O，
∴AD⊥CF，
∵AD∩AC=A，
∴CF⊥面ACD，
∵CF?面CEF，
∴面ACD⊥面CEF；
（3）解：∵AB=AC=6，∴BC=6$\sqrt{2}$．
∴△OBF的面積為$\frac{1}{2}×（3\sqrt{2}）^{2}$=9
∵AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8，
∴三棱錐O₁-OBF的體積V=$\frac{1}{3}×9×8$=24．

點評 本題考查線面平行、平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．