Question

12．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），f（-2）=-3，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=-1，S_n=2a_n+n（n∈N^*），則f（a₅）+f（a₆）的值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 a₁=-1，S_n=2a_n+n，利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得：a_n=2a_n-1-1，變形為：a_n-1=2（a_n-1-1），利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n=1-2ⁿ．根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），可得$f（\frac{3}{2}+x）$=f（-x）=-f（x），因此f（x+3）=f（x）．利用周期性與奇偶性可得f（a₅）+f（a₆）=-f（1）-f（0）．　由f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），取x=-$\frac{1}{2}$，可得：f（2）=f$（-\frac{1}{2}）$=-f$（\frac{1}{2}）$．取x=1，可得$f（\frac{1}{2}）$=f（1），即可得出．

解答 解：∵a₁=-1，S_n=2a_n+n，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），
化為：a_n=2a_n-1-1，變形為：a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，首項為-2，公比為2．
∴a_n-1=-2ⁿ，即a_n=1-2ⁿ．
∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），
∴$f（\frac{3}{2}+x）$=f（-x）=-f（x），
∴f（x+3）=-$f（\frac{3}{2}+x）$=f（x）．
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31+f（-63）
=-f（31）-f（63）=-f（1）-f（0）=-f（1），
∵f（-2）=-f（2）=-3，∴f（2）=3．
∵f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），取x=-$\frac{1}{2}$，可得：f（2）=f$（-\frac{1}{2}）$=-f$（\frac{1}{2}）$，可得f$（\frac{1}{2}）$=-3．
取x=1，可得$f（\frac{1}{2}）$=f（1）=-3．
∴f（a₅）+f（a₆）=-（-3）=3．
故選：C．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、函數(shù)的奇偶性與周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．