如圖(圖1)等腰梯形PBCD,A為PD上一點(diǎn),且AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿著AB折疊使得二面角P-AB-D為60°的二面角,連接PC、PD,在AD上取一點(diǎn)E使得3AE=ED,連接PE得到如圖(圖2)的一個(gè)幾何體.
(1)求證:平面PAB⊥平面PCD;
(2)求PE與平面PBC所成角的正弦值.
分析:(1)證明AP⊥PD,AB⊥PD,可得PD⊥平面PAB,從而可得平面PAB⊥平面PCD;
(2)連接AC,利用VP-ABC=VA-PBC,求出E到平面PBC的距離為h,進(jìn)而利用sinθ=
h
PE
,即可求PE與平面PBC所成角的正弦值.
解答:(1)證明:∵AB⊥PA,AB⊥AD,又二面角P-AB-D為60°
∴∠PAD=60°,
又AD=2PA,∴AP⊥PD
又AB⊥平面APD,又PD?平面APD,∴AB⊥PD,
∵AP,AB?平面ABP,且AP∩AB=A
∴PD⊥平面PAB,
又PD?平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD---------(7分)
(2)解:設(shè)E到平面PBC的距離為h,
∵AE∥平面PBC,∴A到平面PBC的距離亦為h
連接AC,

則VP-ABC=VA-PBC,設(shè)PA=2
1
3
×
1
2
×2×2×
3
=
1
3
×
1
2
×2×
7
×h

h=
2
21
7
,
 設(shè)PE與平面PBC所成角為θ,
sinθ=
h
PE
=
2
3
7
3
=
2
7
7
---------------(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查面面垂直,考查線面角,解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定方法,利用求點(diǎn)面距離,求PE與平面PBC所成角.
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(Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面PCD;
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