Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．
（1）求證：BC∥平面PAD；
（2）若E、F分別為PB、AD的中點，求證：EF⊥BC；
（3）求二面角C-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理即可得出；
通過建立空間直角坐標系：（2）只要證明

EF

•

BC

=0．即可得到EF⊥BC．（3）利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的余弦值．

解答：（1）證明：∵底面ABCD是正方形，∴BC∥AD．
又BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD；
（2）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），P（0，0，1），E(

1

2

，0，0)，F(xiàn)(

1

2

，

1

2

，

1

2

)．
∴

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

BC

=（-1，0，0），∴

EF

•

BC

=0．
∴EF⊥BC．
（3）由（2）可得：

AC

=（-1，1，0），

AP

=（-1，0，1）．
設平面ACP的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AC =-x+y=0 n • AP =-x+z=0

，令x=1，則y=z=1，∴

n

=(1，1，1)．
取平面APD的法向量為

m

=(0，1，0)．
則cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

1

3

=

3

3

．即為所求．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用數(shù)量積等于0證明直線垂直、利用兩個平面的法向量的夾角公式得出二面角的余弦值、線面平行的判定定理等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．