Question

已知集合A={（x，y）|ax+y=1，x，y∈R}，B={（x，y）|x+ay=1，x，y∈R}，C={（x，y）|x²+y²=1，x，y∈R}
（1）若（A∪B）∩C為兩個(gè)元素的集合，求實(shí)數(shù)a；
（2）（A∪B）∩C為含三個(gè)元素的集合，求實(shí)數(shù)a

Answer 1

分析：（1）作出集合A，B的圖象，利用（A∪B）∩C為兩個(gè)元素的集合，說明①直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1各有一個(gè)交點(diǎn)且不重合，②直線ax+y=1和x+ay=1重合，且與圓x²+y²=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a即可；
（2）（A∪B）∩C為含三個(gè)元素的集合，a≠0，a≠1．直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1必須交于三個(gè)點(diǎn)，即兩直線有一個(gè)交點(diǎn)在圓x²+y²=1上，且兩直線與圓還各有一個(gè)交點(diǎn)，利用對稱性求出實(shí)數(shù)a即可．

解答：解：（1）（A∪B）∩C含兩個(gè)元素
①直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1各有一個(gè)交點(diǎn)且不重合，則滿足條件，此時(shí)a=0，如圖（1）所示
②直線ax+y=1和x+ay=1重合，且與圓x²+y²=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則滿足條件，此時(shí)a=1，如圖（2）所示
綜上，a=0或a=1時(shí)，（A∪B）∩C為含兩個(gè)元素的集合
（2）（A∪B）∩C含三個(gè)元素
顯然a≠0，a≠1．
直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1必須交于三個(gè)點(diǎn)，即兩直線有一個(gè)交點(diǎn)在圓x²+y²=1上，且兩直線與圓還各有一個(gè)交點(diǎn)
∵直線ax+y=1和x+ay=1關(guān)于直線y=x對稱
∴三個(gè)交點(diǎn)為（0，1），（1，0），（

2

2

，

2

2

）或（0，1），（1，0），（-

2

2

，-

2

2

）
如圖（3）（4）所示
此時(shí)a=-1±

2

點(diǎn)評：本題考查子集、并集、交集的轉(zhuǎn)換，考查數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，作出圖形，是解好本題的前提，是中檔題．