Question

已知a>0且a≠1，f(log_ax)＝(x－)．

(1)求f(x)；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性和奇偶性；

(3)對于f(x)，當x∈(－1,1)時，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)令t＝log_ax(t∈R)，

則x＝a^t，且f(t)＝，

所以f(x)＝(a^x－a^－x)(x∈R)；

(2)因為f(－x)＝(a^－x－a^x)＝－f(x)，

且x∈R，所以f(x)為奇函數(shù)．

當a>1時，a^x－a^－x為增函數(shù)，

并且注意到>0，

所以這時f(x)為增函數(shù)．

當0<a<1時，類似可證f(x)為增函數(shù)．

所以f(x)在R上為增函數(shù)；

(3)因為f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)為奇函數(shù)，

所以f(1－m)<f(2m－1)．

因為f(x)在(－1,1)上為增函數(shù)，

所以

解之，得<m<1.

即m的取值范圍是：(，1)．