Question

已知定圓Q：x²+y²-2x-15=0，動(dòng)圓M和已知圓內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)P（-1，0），
（1）求圓心M的軌跡及其方程；
（2）試確定m的范圍，使得所求方程的曲線C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l：y=4x+m對(duì)稱．

Answer 1

解 （1）已知圓可化為（x-1）²+y²=16，設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y），則|MP|為半徑，又圓M和圓Q內(nèi)切，即|MP|+|MQ|=4，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中心為原點(diǎn)，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）假設(shè)具有對(duì)稱關(guān)系的兩點(diǎn)所在直線l′的方程為y=-

1

4

x+n，代入橢圓方程中有3x2+4(-

1

4

x+n)2-12=0，即13x²-8nx+16n²-48=0．
若要橢圓上關(guān)于直線l對(duì)稱得不同兩點(diǎn)存在，則需l′與橢圓相交，且兩交點(diǎn)P、Q到直線l的距離相等，即線段PQ的中點(diǎn)M在直線l上，
故△=64n²-4×13×（16n²-48）＞0，∴-

13

2

＜n＜

13

2

．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

8n

13

，y1+y2=-

1

4

(x1+x2)+2n=

24

13

n，∴

12n

13

=4×

4n

13

+m，
故m=-

4n

13

，∴n=-

13m

4

，
∴-

13

2

＜-

13m

4

＜

13

2

，
即-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．