Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1且對(duì)于任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線(xiàn)2x+y-2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b_n=na_n，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，T_n＜4．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在直線(xiàn)上則S_n=2-2a_n+1，根據(jù)遞推關(guān)系可得n≥2時(shí)，S_n-1=2-2a_n，兩式作差，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}的特征，利用錯(cuò)位相消法求出其前n項(xiàng)和T_n，然后化簡(jiǎn)整理可證得結(jié)論，當(dāng)n≥2時(shí)，T_n＜4．
解答：（本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線(xiàn)2x+y-2=0上
∴2a_n+1+S_n-2=0即∴S_n=2-2a_n+1    ①
當(dāng)n≥2時(shí)，∴S_n-1=2-2a_n     ②…（3分）
由①-②可得：a_n=2a_n+1∴（n≥2）又a₁=1，a₂=符合上式
數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
∴                  …（6分）
（2）由（1）知b_n=na_n=
∴T_n=1+2+3+4+…+     …③
∴T_n=+2+3+4+…+    …④
由③-④得∴…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和，以及不等式的證明，是一道綜合題，屬于中檔題．