Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若數列{b_n}滿足，證明：數列{b_n}是等差數列；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

解：（I）∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列．
∴a_n+1=2ⁿ．
即a_n=2ⁿ-1∈N^*）．
（II）證明：∵
∴．
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．
③-④，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
∴{b_n}是等差數列．
（III）證明：∵，k=1，2，，n，
∴．
∵，k=1，2，，n，
∴，
∴．
分析：（I）整理題設遞推式得a_n+1+1=2（a_n+1），推斷出{a_n+1}是等差數列，進而求得a_n+1，則a_n可求．
（II）根據題設等式可推斷出2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n和2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．兩式相減后整理求得b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n進而推斷出{b_n}是等差數列．
（III）利用（1）中數列{a_n}的通項公式，利用不等式的傳遞性，推斷出進而推斷出；同時利用不等式的性質推斷出，進而代入證明原式．
點評：本小題主要考查數列、不等式等基本知識，考查化歸的數學思想方法，考查綜合解題能力．